線形代数例

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$

ステップ 1

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ に $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} \cdot \frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$

ステップ 2

分数をまとめます。

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ステップ 2.1

$\frac{3 + \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}}$ に $\frac{2 + \sqrt{5}}{2 + \sqrt{5}}$ をかけます。

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{(2 - \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}$

ステップ 2.2

FOIL法を使って分母を展開します。

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{4 + 2 \sqrt{5} - 2 \sqrt{5} - {\sqrt{5}}^{2}}$

ステップ 2.3

簡約します。

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$

ステップ 2.4

式を簡約します。

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ステップ 2.4.1

$\frac{(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})}{- 1}$ の分母からマイナス1を移動させます。

$- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

ステップ 2.4.2

$- 1 \cdot ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ を $- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$ に書き換えます。

$- ((3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5}))$

ステップ 3

分配法則（FOIL法）を使って $(3 + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{5})$ を展開します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$- (3 (2 + \sqrt{5}) + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} (2 + \sqrt{5}))$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$- (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

ステップ 4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$3$ に $2$ をかけます。

$- (6 + 3 \sqrt{5} + \sqrt{5} \cdot 2 + \sqrt{5} \sqrt{5})$

ステップ 4.1.2

$2$ を $\sqrt{5}$ の左に移動させます。

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \cdot \sqrt{5} + \sqrt{5} \sqrt{5})$

ステップ 4.1.3

根の積の法則を使ってまとめます。

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5 \cdot 5})$

ステップ 4.1.4

$5$ に $5$ をかけます。

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{25})$

ステップ 4.1.5

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + \sqrt{5^{2}})$

ステップ 4.1.6

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$- (6 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5} + 5)$

ステップ 4.2

$6$ と $5$ をたし算します。

$- (11 + 3 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5})$

ステップ 4.3

$3 \sqrt{5}$ と $2 \sqrt{5}$ をたし算します。

$- (11 + 5 \sqrt{5})$

ステップ 5

分配則を当てはめます。

$- 1 \cdot 11 - (5 \sqrt{5})$

ステップ 6

掛け算します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $11$ をかけます。

$- 11 - (5 \sqrt{5})$

ステップ 6.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- 11 - 5 \sqrt{5}$

10進法形式：

$- 22.18033988 \dots$

線形代数 例

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